En 1907, Paul Koebe et Henri Poincaré démontraient presque simultanément le théorème d'uniformisation :

Toute surface de Riemann simplement connexe est isomorphe au plan, au disque ou à la sphère.

Il a fallu tout un siècle avant d'oser énoncer ce théorème et d'en donner une démonstration convaincante, grâce au travail de Gauss, Riemann, Schwarz, Klein, Poincaré et Koebe (entre autres).
Ce livre propose quelques points de vue sur la maturation de ce théorème.

L'évolution du théorème d'uniformisation s'est faite en parallèle avec l'apparition de la géométrie algébrique, la création de l'analyse complexe, les premiers balbutiements de l'analyse fonctionnelle, le foisonnement de la théorie des équations différentielles linéaires, la naissance de la topologie. Le théorème d'uniformisation est l'un des fils conducteurs du XIX^e siècle mathématique.

Il ne s'agit pas de décrire l'histoire d'un théorème mais de revenir sur des preuves anciennes, de les lire avec des yeux de mathématiciens modernes, de s'interroger sur la validité de ces preuves et d'essayer de les compléter, autant que possible en respectant les connaissances de l'époque, voire, si cela s'avère nécessaire, avec des outils mathématiques modernes qui n'étaient pas à la disposition de leur auteur.

Ce livre sera utile aux mathématiciens d'aujourd'hui qui souhaitent jeter un regard sur l'histoire de leur discipline. Il pourra également permetttre à des étudiants de niveau master d'accéder à ces concepts si importants de la recherche contemporaine en utilisant une voie inhabituelle.

« 1° que toute équation différentielle linéaire à coefficients algébriques s'intègre par les fonctions zétafuchsiennes.
2° que les coordonnées des points d'une courbe algébrique quelconque s'expriment par des fonctions fuchsiennes d'une variable auxiliaire. »
Henri Poincaré, le 8 août 1881