Introduction

1 La philosophie des mathématiques dans son histoire de l'Antiquité à la période moderne (Sébastien Maronne et David Rabouin)

1. Introduction

2. Richesse des débats de philosophie des mathématiques dès l'Antiquité grecque classique

3. L'ère des grands commentaires

4. Philosophie des mathématiques et « révolution scientifique »

5. Des Anciens aux modernes: quelques thèmes classiques entre philosophie et pratique mathématique

6. La résolution des problèmes géométriques dans la période moderne

7. De l'invention du calcul à l'analyse algébrique

8. Conclusion

2 La fondation des mathématiques : Kant et après (Sébastien Gandon)

1. Introduction

2. La synthèse kantienne

2. 1 La connaissance rationnelle par construction de concepts

2. 2 Questions fondationnelles kantiennes

3. La nouvelle logique : émergence et rôle fondationnel

3. 1 L’émergence de la nouvelle logique

3. 2 Frege, Russell et le logicisme

4. Fonder l’arithmétique

4. 1 Dedekind et les fondements de l’arithmétique

4. 2 Développements et difficultés

5. Fonder lagéométrie

5. 1 L’identité de la géométrie : géométrie non euclidienne, géométrie intrinsèque, géométrie projective

5. 2 À la recherche de la géométrie : fondation et définition

6. Conclusion : fondationalismes et anti-fondationalismes

3 Évolution des mathématiques au XX^e siècle (Hourya Benis-Sinaceur et Mirna Džamonja)

1. Aux origines du structuralisme mathématique (Hourya Benis-Sinaceur)

1. 1 Les prémisses : congruence et relation d’équivalence (1801)

1. 2 La structure de groupe: les débuts avec L. A. Cauchy et É. Galois

1. 3 Göttingen : la mathématique conceptuelle

1. 4 Dedekind: définition du concept de groupe abstrait (1855-1858)

1. 5 Felix Klein : l’application de la théorie des groupes à la géométrie (1872)

1. 6 Définition axiomatique de la structure de groupe

1. 7 E. Steinitz : la théorie des corps abstraits (1910)

1. 8 Emmy Noether

1. 9 Bourbaki

1. 10 Le paradis de Cantor

1. 11 Les constructivismes .

2. L’explosion des mathématiques au XX^e siècle, quelques grandes lignes de recherche, et l’avenir (Mirna Džamonja)

2. 1 La logique et les mathématiques, le programme de Hilbert

3. Fondements

3. 1 Von Neumann, Turing et les ordinateurs

3. 2 Erdos, qui « jouait » aux mathématiques, qui nous jouent leur tour

3. 3 Tarski, Shelah et la théorie des modèles

3. 4 La Pologne, Banach et le Livre écossais

3. 5 La France

4. Ce qui nous reste à faire

4 Ensembles, catégories et fondements des mathématiques (Jean-Pierre Marquis et Jean-Jacques Szczeciniarz)

1. Les enjeux

2. Quelques rappels historiques

2. 1 Le programme de Lawvere

2. 2 La réponse institutionnelle

3. Questions de définition et de méthodes

4. Catégories dans les ensembles

4. 1 Les univers de Grothendieck

4. 2 Les principes réflexifs

5. Ensembles dans les catégories

5. 1 Les topos élémentaires

5. 2 ETCS : la théorie élémentaire de la catégorie des ensembles

5. 3 Foncteurs et transformations naturelles

5. 4 2-catégorie stricte et 2-catégorie faible

6. Conclusion

5 Révisionnisme mathématique : l’enjeu constructif (Gerhard Heinzmann et Mark van Atten)

1. Introduction

2. L’intuitionnisme

3. CTT : la théorie constructive des types

4. Les mathématiques prédicatives et opératoires : De Weyl à Feferman

5. Le constructivisme: du point de vue finitaire de Hilbert au révisionnisme faible de Gödel, Kreisel, Bishop et Markov et au révisionnisme fort de l’ultra-intuitionnisme (Yessenin-Volpin) et du finitisme strict (van Bendegem)

6 Calculabilité et complexité computationnelle (Guido Gherardi et Maël Pégny)

1. Les bases de la théorie de la calculabilité

1. 1 Les machines de Turing et la thèse de Church-Turing

1. 2 La machine universelle et le problème de l’arrêt

1. 3 Ensembles décidables et récursivement énumérables

2. La calculabilité sur les espaces topologiques

3. 2. 1 Turing et la représentation des nombres réels

2. 2 La théorie des espaces représentés

2. 3 Calculabilité et continuité

2. 4 Fonctions boréliennes

2. 5 Conclusion sur la calculabilité réelle

4. Complexité en temps et en espace

3. 1 Complexité déterministe

3. 2 Complexité non-déterministe

3. 3 Conclusion sur la complexité computationnelle

7 Le dilemme de Benacerraf (Andrea Sereni et Fabrice Pataut)

1. Le dilemme originel

2. La reformulation de Field

3. Réponses conservatives et non conservatives

4. Une cartographie du débat

5. Répondre au défi

5. 1 Le néo-logicisme

5. 2 Le structuralisme

5. 3 Le platonisme défendu par l’argument d’indispensabilité

5. 4 Le nominalisme

5. 5 Genres de fictionalisme

6. L’antiréalisme

6. 1 Arrière-plan historique : l’intuitionisme de Brouwer

6. 2 L’antiréalisme de Dummett

6. 3 Le finitisme strict

7. Réponses intuitionnelles

7. 1 Arrière-plan historique. Kant sur l’intuition

7. 2 Gödel

7. 3 Parsons

8. Conclusion

8 Philosophie de la pratique mathématique (Valeria Giardino et Yacin Hamami)

1. Introduction

2. Preuves formelles et informelles

2. 1 Le débat entre Rav et Azzouni

2. 2 Vers un modèle philosophique des preuves informelles

2. 3 Preuves informelles et compréhension mathématique

3. Visualisation dans la pratique mathématique

3. 1 Critiques de la visualisation en mathématiques

3. 2 Brown et Giaquinto sur la visualisation en mathématiques

3. 3 Visualisation en mathématiques : études de cas

4. Les artefacts dans la pratique mathématique

4. 1 Les artefacts dans la pratique géométrique en Grèce ancienne

4. 2 Les notations comme artefacts : aspects épistémologiques

4. 3 Les notations comme artefacts : analyses cognitives

5. Mathématiques et informatique

5. 1 Preuves probabilistes

5. 2 Mathématiques expérimentales

6. Conclusion

9 Idéaux de preuve : explication et pureté (Andrew Arana)

1. L'explication

1. 1 L'explication comme généralisation

1. 2 L'explication comme unification

1. 3 L'explication comme essentialisme

1. 4 Conclusions sur l'explication

2. La pureté

2. 1 Les variétés de la pureté

2. 2 La valeur de la pureté

2. 3 Conclusions sur la pureté

3. Conclusions

10 L'applicabilité des mathématiques (Daniele Molinini et Marco Panza)

1. Quel rapport entre les éléphants et la bourse de New York ?

2. Quelques positions philosophiques classiques sur l'applicabilité des mathématiques

3. Le débat contemporain

4. Liens avec d'autres problèmes

A Philosophie mathématique, l'école française au XX^e siècle : histoire, logique, mathématiques (Frédéric Patras)

1. Le premier XX^e siècle

2. L'âge héroïque

3. L'après-guerre

B La probabilité et son interprétation (Maria Carla Galavotti)

1. Une longue histoire en bref

2. La probabilité et ses interprétations

3. La théorique classique

4. La théorie fréquentiste

5. La théorie de la propension

6. L'interprétation logique

7. L'interprétation subjective